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已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2,其二次型矩阵A满足r(ATA)=2. 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形。
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2,其二次型矩阵A满足r(ATA)=2. 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形。
admin
2022-03-23
68
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1-a)x
1
2
+(1-a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
,其二次型矩阵A满足r(A
T
A)=2.
求正交变换x=Qy,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化成标准形。
选项
答案
由第一问得知, 当a=0时,则有 [*]=λ(λ-2)
2
=0 得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0 当λ
1
=λ
2
=2时,解(2E-A)x=0,得ξ
1
=(1,1,0)
T
,ξ
2
=(0,0,1)
T
当λ
3
=0时,解(0E-A)x=0,得ξ
3
=(-1,1,0)
T
由ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
已两两正交,单位化即可,η
1
=[*](1,1,0)
T
,η
2
=(0,0,1)
T
,η
3
=[*](-1,1,0)
T
令Q=(η
1
,η
2
,η
3
),则Q为正交矩阵,作x=Qy有f(x
1
,x
2
,x
3
)=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
=2y
1
2
+2y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/HIR4777K
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考研数学三
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