[2003年]设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(－∞，+∞)内满足以下条件：f/(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2x．求出F(x)的表达式．

admin2019-03-30 39

问题 [2003年]设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(－∞，+∞)内满足以下条件：f/(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2^x．
求出F(x)的表达式．

选项

答案解一由F’(x)+2F(x)=4e^2x得到 e^2xF’(x)+2e^2xF(x)=4e^4x，即 e^2xF(x)]’=4e^4x，故[*] 又因F(0)=f’(0)g(0)=0，故C=－1．所以F(x)=e^2x－e^-2x．解二 [*] 将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=－1．于是F(x)=e^2x－e^－2x．

解析

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考研数学三

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