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设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,其样本均值为,记Yi=Xi-,i=1,2,…,n. (I)求Yi的方差D(Yi),i=1,2,…,n; (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差cov(Y1,Yn); (Ⅲ)
设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,其样本均值为,记Yi=Xi-,i=1,2,…,n. (I)求Yi的方差D(Yi),i=1,2,…,n; (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差cov(Y1,Yn); (Ⅲ)
admin
2013-09-03
45
问题
设X
1
,X
2
,…,X
n
(n>2)为来自总体N(0,σ
2
)的简单随机样本,其样本均值为
,记Y
i
=X
i
-
,i=1,2,…,n.
(I)求Y
i
的方差D(Y
i
),i=1,2,…,n;
(Ⅱ)求Y
1
与Y
n
的协方差cov(Y
1
,Y
n
);
(Ⅲ)若c(Y
1
+Y
n
)
2
是σ
2
的无偏估计量,求常数c.
选项
答案
根据题意设X
1
,X
2
,…,X
n
以是一个简单随机样本,因此X
1
,X
2
,…,X
n
以相互独立,且与总体同分布,从而可知 [*] (Ⅱ)因为X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立,所以cov(X
i
,X
j
)[*] 又由协方差的性质cov(Y
1
,Y
n
)[*] 类似地,[*] 所以[*] (Ⅲ)因为E(Y
1
+Y
n
)=E(Y
1
)+E(Y
n
)=0, 所以[*] 若c(Y
1
+Y
n
)
2
是σ
2
的无偏估计量, 则c应满足等式σ
2
=E[c(Y
1
+Y
n
)
2
]=cE[(Y
1
+Y
n
)
2
]=[*] 由此解得[*]
解析
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考研数学一
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