设A是n(n≥3)阶矩阵，证明：(A)＝｜A｜n－2A．

admin2018-01-23 46

问题设A是n(n≥3)阶矩阵，证明：(A^*)^*＝｜A｜^n－2A．

选项

答案(A^*)^*A^*＝｜A^*｜E＝｜A｜^n－1E，当r(A)＝n时，r(A^*)＝n，A^*＝｜A｜A^－1，则 (A^*)^*A^*＝(A^*)^*｜A｜A^－1＝｜A｜^n－1E，故(A^*)^*＝｜A｜^n－2A．当r(A)＝n－1时，｜A｜＝ 0，r(A^*)＝1，r[(A^*)^*]＝0，即(A^*)^*＝O，原式显然成立．当r(A)＜n－1时，｜A｜＝ 0，r(A^*)＝0，(A^*)^*＝O，原式也成立．

解析

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