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已知m个向量α1,αm线性相关,但其中任意m一1个向量都线性无关,证明: (Ⅰ)如果等式k1α1+…+kmαm=0成立,则系数后k1,…,km或者全为零,或者全不为零; (Ⅱ)如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立,则其中
已知m个向量α1,αm线性相关,但其中任意m一1个向量都线性无关,证明: (Ⅰ)如果等式k1α1+…+kmαm=0成立,则系数后k1,…,km或者全为零,或者全不为零; (Ⅱ)如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立,则其中
admin
2019-01-05
54
问题
已知m个向量α
1
,α
m
线性相关,但其中任意m一1个向量都线性无关,证明:
(Ⅰ)如果等式k
1
α
1
+…+k
m
α
m
=0成立,则系数后k
1
,…,k
m
或者全为零,或者全不为零;
(Ⅱ)如果等式k
1
α
1
+…+k
m
α
m
=0和等式l
1
α
1
+…+l
m
α
m
=0都成立,则
其中l
1
≠0。
选项
答案
(Ⅰ)假设存在某个k
i
=0,则由k
1
,α
1
+…+k
m
α
m
=0可得 k
1
α
1
+…+k
i—1
α
i—1
一1+k
i+1
α
i+1
+…+k
m
α
m
=0。 (1)因为任意m一1个向量都线性无关,所以必有k
1
=…=k
i—1
=k
i+1
=…=k
m
=0,即系数k
1
,…,k
m
全为零。 所以系数k
1
,…,k
m
或者全为零,或者全不为零。 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当l
1
≠0时,系数l
1
,…,l
m
全不为零,所以 [*] 将其代入(1)式得 [*] 又因为任意m一1个向量都线性无关,所以[*]k
1
+k
2
=…=[*]k
1
+k
m
=0,即 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JSW4777K
0
考研数学三
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