2. 考研
  3. 已知m个向量α1，αm线性相关，但其中任意m一1个向量都线性无关，证明： （Ⅰ）如果等式k1α1+…+kmαm=0成立，则系数后k1，…，km或者全为零，或者全不为零； （Ⅱ）如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立，则其中

已知m个向量α1，αm线性相关，但其中任意m一1个向量都线性无关，证明： （Ⅰ）如果等式k1α1+…+kmαm=0成立，则系数后k1，…，km或者全为零，或者全不为零； （Ⅱ）如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立，则其中

admin2019-01-05  51
问题 已知m个向量α1，αm线性相关，但其中任意m一1个向量都线性无关，证明：
（Ⅰ）如果等式k1α1+…+kmαm=0成立，则系数后k1，…，km或者全为零，或者全不为零；
（Ⅱ）如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立，则其中l1≠0。
选项
答案（Ⅰ）假设存在某个ki=0，则由k1，α1+…+kmαm=0可得 k1α1+…+ki—1αi—1一1+ki+1αi+1+…+kmαm=0。 （1）因为任意m一1个向量都线性无关，所以必有k1=…=ki—1=ki+1=…=km=0，即系数k1，…，km全为零。 所以系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零。 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当l1≠0时，系数l1，…，lm全不为零，所以 [*] 将其代入（1）式得 [*] 又因为任意m一1个向量都线性无关，所以[*]k1+k2=…=[*]k1+km=0，即 [*]
解析
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考研数学三

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