2. 考研
  3. 设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有g（x）f’（x）dx+f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。

设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有g（x）f’（x）dx+f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。

admin2017-01-21  83
问题 设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有g（x）f’（x）dx+f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。
选项
答案∫0ag（x）f’（x）dx=g（x）f（x）|0a一∫0af（x）g’（x）dx =f（0）g（a）一∫0af（x）g’（x）dx， ∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx =f（A）g（a）一∫0af（x）g’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx =f（A）g（A）+∫01f（x）g’（x）dx， 由于x∈[0，1]时，g’（x）≥0，因此 f（x）g’（x）≥f（A）g’（x），x∈[a，1]， ∫a1f（x）g’（x）dx≥∫a1f（a）g’（x）dx=f（a）[g（1）—g（a）]， 从而 g（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（A）+f（a）[g（1）—g（A）]=f（a）g（1）。
解析
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考研数学三

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