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设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f()<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=f(ξ).
设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f()<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=f(ξ).
admin
2018-05-17
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问题
设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f(
)<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=f(ξ).
选项
答案
不妨设f(a)>0,f(b)>0,[*]<0,令φ(χ)=e
-χ
f(χ),则 φ′(χ)=e
-χ
[f′(χ)-f(χ)]. 因为φ(a)>0,[*]<0,φ(b)>0. 所以存在[*] 使得φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得φ′(ξ)=0,即e
-ξ
[f′(ξ)-f(ξ)]=0,因为e
-ξ
≠0,所以f′(ξ)=f(ξ).
解析
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考研数学二
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