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  3. 求二元函数z=f(x,y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。

求二元函数z=f(x,y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。

admin2022-10-08  52
问题 求二元函数z=f(x,y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。
选项
答案由方程组[*] 得x=0,(0≤y≤6)及点(4,0),(2,1). 点(4,0)及线段x=0在D的边界上，只有点(2,1)是可能的极值点。 f"xx=8y－6xy－2y2 f"xy=8x－3x2－4xy f"yy=－2x2 在点(2,1)处 A=f"xx(2,1)=(8y－6xy－2y2)[*]=－6＜0 B=f"xy(2,1)=(8x－3x2－4xy)[*]=－4 C=f"yy(2,1)=－2x2[*]=－8 则B2－AC=16－48=－32＜0 因此点(2,1)是极大值点，极大值f(2,1)=4 在边界x=0（0≤y≤6)和y=0(0≤x≤6）上f(x,y)=0,在边界x+y=6上，y=6－x,代入f(x,y)中得z=2x3－12x2(0≤x≤6) 由z’=6x2－24x=0得x=0,x=4,z"|x=4=12x－24|x=4=24＞0 所以点(4,2)是边界上的极小值点，极小值为f(4,2)=－64 经比较得，最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=－64.
解析
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考研数学三

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