设x∈(0，1)，证明： (1)(1+x)ln2(1+x)＜x2； (2)

admin2016-01-11 44

问题设x∈(0，1)，证明：
(1)(1+x)ln²(1+x)＜x²；
(2)

选项

答案(1)令f(x)=(1+x)ln²(1+x)一x²，则f(0)=0． f’(x)=ln²(1+x)+2ln(1+x)一2x，f’(0)=0． [*] 当x＞0时，ln(1+x)＜x，故f”(x)＜0，f’(x)单调减少;f’(x)＜f’(0)=0，故f(x)单调减少，从而有f(x)＜f(0)=0，即 (1+x)ln²(1+x)＜x²． [*] 由(1)知g’(x)＜0，x∈(0，1)，故g(x)在(0，1)内单调减少． [*] 故当x∈(0，1)时，有 [*]

解析

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