2. 考研
  3. (09年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．

(09年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．

admin2017-05-26  85
问题 (09年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3．
    (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
    (Ⅱ)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．
选项
答案(Ⅰ)f的矩阵为A＝[*]，由特征方程 [*] 得A的特征值为λ1＝a，λ2＝a－2，λ3＝a＋1． (Ⅱ)由f的规范形知f的秩为2，正惯性指数为2(负惯性指数为0)，因此，A的特征值2个为正，1个为0． 若λ1＝a＝0，则λ2＝－2＜0，λ3＝1，不合题意；若λ2＝a－2＝0，则a＝2，λ1＝2，λ3＝3，符合题意；若λ3＝a＋1＝0，则a＝－1，λ1＜－1＜0，λ2＝－3＜0，不合题意．故a＝2．
解析
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考研数学三

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