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设a0,a1,an-1是n个实数,方阵 (1)若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ2,…,λn-1]T是A的对应于特征值λ的特征向量; (2)若A有n个互异的特征值λ1,λ2,…,λn,求可逆阵P,使Pλ1AP=A.
设a0,a1,an-1是n个实数,方阵 (1)若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ2,…,λn-1]T是A的对应于特征值λ的特征向量; (2)若A有n个互异的特征值λ1,λ2,…,λn,求可逆阵P,使Pλ1AP=A.
admin
2019-08-06
58
问题
设a
0
,a
1
,a
n-1
是n个实数,方阵
(1)若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ
2
,…,λ
n-1
]
T
是A的对应于特征值λ的特征向量;
(2)若A有n个互异的特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,求可逆阵P,使Pλ
1
AP=A.
选项
答案
(1)λ是A的特征值,则λ应满足|λE-A|=0,即 |λE-A|=[*]=0. 将第2列乘λ,第3列乘λ
2
,…,第n列乘λ
n-1
加到第1列,再按第1列展开,得 [*] 即λ
n
+[*]a
i
λ
i
=0,即λ应满足关系λ
n
=[*]a
i
λ
i
. [*] 得证ξ=[1,λ,λ
2
,…,λ
n-1
]
T
是A的对应于λ的特征向量. (2)因λ
1
,λ
2
,…,λ
n
互异,故特征向量ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
线性无关,取可逆阵P=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
],得 P
-1
AP=[*] 其中ξ
i
=[1,λ
i
,λ
i
2
,…,λ
i
n-1
]
T
,i=1,…,n.
解析
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考研数学三
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