设a0,a1,an-1是n个实数,方阵 (1)若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ2,…,λn-1]T是A的对应于特征值λ的特征向量; (2)若A有n个互异的特征值λ1,λ2,…,λn,求可逆阵P,使Pλ1AP=A.

admin2019-08-06  41

问题 设a0,a1,an-1是n个实数,方阵

(1)若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ2,…,λn-1]T是A的对应于特征值λ的特征向量;
(2)若A有n个互异的特征值λ1,λ2,…,λn,求可逆阵P,使Pλ1AP=A.

选项

答案(1)λ是A的特征值,则λ应满足|λE-A|=0,即 |λE-A|=[*]=0. 将第2列乘λ,第3列乘λ2,…,第n列乘λn-1加到第1列,再按第1列展开,得 [*] 即λn+[*]aiλi=0,即λ应满足关系λn=[*]aiλi. [*] 得证ξ=[1,λ,λ2,…,λn-1]T是A的对应于λ的特征向量. (2)因λ1,λ2,…,λn互异,故特征向量ξ1,ξ2,…,ξn线性无关,取可逆阵P=[ξ1,ξ2,…,ξn],得 P-1AP=[*] 其中ξi=[1,λi,λi2,…,λin-1]T,i=1,…,n.

解析
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