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  3. [2010年] 设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式=0．确定a，b的值，使等式在变换ξ=x+ay，η=x+by下化简为=0．

[2010年] 设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式=0．确定a，b的值，使等式在变换ξ=x+ay，η=x+by下化简为=0．

admin2019-04-05  56
问题 [2010年]  设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式=0．确定a，b的值，使等式在变换ξ=x+ay，η=x+by下化简为=0．
选项
答案 利用二元复合函数链式法则求二阶偏导数，代入所给等式中求出a，b．计算时，既可以将ξ，η视为中间变量，也可以将x，y视为中间变量，因此有两种解法． 解一 由复合函数的链式法则，视ξ，η为中间变量，x，y仍为自变量，得到 [*] =(5a2+12a+4)[*]+[10ab+12(a+b)+8][*]+(12b+4+5b2)[*]=0． 由题设有[*] 解方程①和方程②得到a=一2／5或一2，b=一2／5或一2，但当(a，b)为(一2，－2)或(一2／5，一2／5)时，方程③不满足，故所求的(a，b)为(一2／5，一2)或(一2，一2／5)． 解二 由题设易得到x=(aη一bξ)／(a－b)，y=(ξ一η)／(a一b)，因而可将x，y视为中间变量，将ξ，η视为自变量，得到 [*] 欲使[*]=0，即一ab[*]=0，应有 [*], 即 a=2，b=一[*] 或 a=一[*]，b=一2．
解析
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考研数学二

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