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  3. (2000年)设A，B是两个随机事件，随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立。

(2000年)设A，B是两个随机事件，随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立。

admin2021-01-25  61
问题 (2000年)设A，B是两个随机事件，随机变量

试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立。
选项
答案E(X)=1.P{A}+(=1).[*]=2P{A}-1，同理，E(Y)=2P{B}-1。 现在求E(XY)，由于XY只有两个可能值1和-1，所以 E(XY)=1.P{XY=1}+(-1).P{XY=-1}， 其中P{XY=1}=P{X=1，Y=1}+P{X=-1，Y=-1}=P{AB}+[*] =P{AB}+1-P{A∪B}=2P{AB}-P{A}-P{B}+1， 和P{XY=-1}=P{X=1，Y=-1}+P{X=-1，Y=1}=[*] =P{A}+P{B}-2P{AB}。 (或者P{XY=-1}=1-P{XY=1}=P{A}+P{B}-2P{AB})。 所以 E(XY)=P{XY=1}-P{XY=-1}=4P{AB}-2P{A}-2P{B}+1。 由协方差公式， Cov(XY)=E(XY)=E(X)E(Y) =4P{AB}-2P{A}-2P{B}+1-[2P{A}-1].[2P{B}-1] =4[P{AB}-P{A}P{B}]， 因此，Cov(XY)=0当且仅当P{AB}=P{A}P{B}，即X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立。
解析
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考研数学三

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