2. 考研
  3. 设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜}上服从均匀分布，令 (Ⅰ)写出(X，y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由； (Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．

设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜}上服从均匀分布，令 (Ⅰ)写出(X，y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由； (Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．

admin2018-06-30  35
问题 设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜}上服从均匀分布，令

    (Ⅰ)写出(X，y)的概率密度；
    (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由；
    (Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．
选项
答案(Ⅰ)区域D如图(a)，面积为SD＝[*]，由题意，(X，Y)的概率密度为 [*] (Ⅱ)由题意，P(U≤0)＝P(U＝0)＝P(X＞Y) ＝[*] D1见图(b) [*] G见图C． 而P(U≤0，X≤[*])＝P(X＞Y，X≤[*]) ＝[*] G1见图(d) 可见P(U≤0，X≤[*])≠P(U≤0)[*]， 故U与X不独立． (Ⅲ)F(z)＝P(Z≤z)＝P(U＋X≤z)＝P(U＋X≤z，U＝0)＋P(U＋X≤z，U＝1)＝P(X≤z，X＞Y)＋P(X≤z－1，X≤y) 可见，z<0时，F(z)＝0； z≥2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)，P(X≤z－1，X≤Y)＝P(X≤Y) 所以F(z)＝P(X＞Y)＋P(X≤Y)＝1； 0≤z＜1时，由－1≤z－1＜0，知P(X≤z－1，X≤Y)＝0， 而P(X≤z，X＞y)＝[*]， G2见图(e)． 故F(z)＝[*]z2－z3； 1≤z＜2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)＝[*]， 这时0≤z－1＜1，有P(X≤z－1，X≤Y) ＝[*] G3见图(f)． 所以F(z)＝[*] [*]
解析
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考研数学三

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