2. 考研
  3. 设f(x)=(akcoskx+bksinkx)，其中ak，bk(k=1，2，…，n)为常数．证明： (Ⅰ)f(x)在[0，2π)必有两个相异的零点； (Ⅱ)f(m)(x)在[0，2π)也必有两个相异的零点．

设f(x)=(akcoskx+bksinkx)，其中ak，bk(k=1，2，…，n)为常数．证明： (Ⅰ)f(x)在[0，2π)必有两个相异的零点； (Ⅱ)f(m)(x)在[0，2π)也必有两个相异的零点．

admin2021-11-15  3
问题 设f(x)=(akcoskx+bksinkx)，其中ak，bk(k=1，2，…，n)为常数．证明：
(Ⅰ)f(x)在[0，2π)必有两个相异的零点；
(Ⅱ)f(m)(x)在[0，2π)也必有两个相异的零点．
选项
答案(Ⅰ)令F(x)=[*]aksinkx－[*]coskx)．显然，F′(x)=f(x)．由于F(x)以2π为周期且F(0)=F(2π)，故F(x)在[0，2π]上连续，从而必有最大值与最小值．设F(x)分别在x1，x2达到最大值与最小值，且x1≠x2，x1，x2∈[0，2π)，则F(x1)，F(x2)也是F(x)在(－∞，+∞)上的最大值，最小值，因此x1，x2必是极值点．又F(x)可导，由费马定理知F′(x1)=f(x1)=0，F′(x2)=f(x2)=0． (Ⅱ)f(m)(x)同样为(Ⅰ)中类型的函数即可写成f(m)(x)=[*](αkcoskx+βksinkx)，其中αk，βk (k=1，2，…，n)为常数，利用(Ⅰ)的结论，f(m)(x)在[0，2π)必有两个相异的零点．
解析 即证：f(x)=[aksinkx－bkcoskx)]′在[0，2π)存在两个相异零点．只要证
F(x)=aksinkx－bkcoskx)
在[0，2π)有两个极值点．注意：F(x)是周期为2π的周期函数，F(x)在[0，2π)的最大与最小值点也是F(x)在(－∞，+∞)上的最大与最小值点，因而必是极值点．
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考研数学一

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