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设A=,b=,方程组Ax=b有无穷多解. (Ⅰ)求a的值及Ax=b的通解; (Ⅱ)求一个正交变换x=Qy,化二次型f(x1,x2,x3)=xTAx为标准形. (Ⅲ)求一个可逆线性变换将(Ⅱ)中的f(x1,x2,x3)化为规范形.
设A=,b=,方程组Ax=b有无穷多解. (Ⅰ)求a的值及Ax=b的通解; (Ⅱ)求一个正交变换x=Qy,化二次型f(x1,x2,x3)=xTAx为标准形. (Ⅲ)求一个可逆线性变换将(Ⅱ)中的f(x1,x2,x3)化为规范形.
admin
2022-04-27
109
问题
设A=
,b=
,方程组Ax=b有无穷多解.
(Ⅰ)求a的值及Ax=b的通解;
(Ⅱ)求一个正交变换x=Qy,化二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax为标准形.
(Ⅲ)求一个可逆线性变换将(Ⅱ)中的f(x
1
,x
2
,x
3
)化为规范形.
选项
答案
(Ⅰ)对增广矩阵[*]作初等行变换,有 [*] 当a=-2时,Ax=b有无穷多解(a=1,无解),则 [*] 故Ax=b的通解为 k(1,l,1)
T
+(1,0,0)
T
、(k为任意常数). (Ⅱ)由(Ⅰ),知A=[*].由 |λE-A|=[*]=λ(λ-3)(λ+3)=0, 得A的特征值为λ
1
=0。λ
2
=3,λ
3
=-3. 由(0E-A)x=0,得特征向量α
1
=(1,1,1)
T
. 由(3E-A)x=0,得特征向量α
2
=(1,0,-1)
T
. 由(-3E-A)x=0,得特征向量α
3
=(1,-2,1)
T
. 由于α
1
,α
2
,α
3
已正交,故只需单位化,得 γ
1
=[*](1,1,1)
T
,γ
2
=[*](1.0,-1)
T
,γ
3
=[*](1,-2,1)
T
. 令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
),正交变换为x=Qy,标准形为3y
2
2
-3y
3
2
. (Ⅲ)[*] 故所求可逆线性变换x=Pz,其中P=[*],规范形为z
2
2
-z
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UGR4777K
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考研数学三
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