2. 考研
  3. 已知α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX＝b的3个解，其中 2α1一α2＝[0，2，2，2]T， α1＋α2＋α3＝[4，一1，2，3]T， 2α2＋α3＝[5，一1，0，1]T， 秩(A)＝2，那么方程组AX＝b的通解是__________．

已知α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX＝b的3个解，其中 2α1一α2＝[0，2，2，2]T， α1＋α2＋α3＝[4，一1，2，3]T， 2α2＋α3＝[5，一1，0，1]T， 秩(A)＝2，那么方程组AX＝b的通解是__________．

admin2022-04-10  95
问题 已知α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX＝b的3个解，其中
2α1一α2＝[0，2，2，2]T，
α1＋α2＋α3＝[4，一1，2，3]T，
2α2＋α3＝[5，一1，0，1]T，
秩(A)＝2，那么方程组AX＝b的通解是__________．
选项
答案[0，2，2，2]T＋k1[一1，0，2，2]T＋k2[一5，7，6，5]T
解析 利用方程组解的结构及其性质求之．
因为n一r(A)＝4—2＝2，所以方程组AX＝b的通解形式为
    α＋k1η1＋k2η2，
其中α为Ax＝b的特解，η1，η2为AX＝0的基础解系．
因此，下面应求出AX＝b的一个解及AX＝0的两个线性无关的解．
根据解的性质知，
    2α1一α2＝α1＋(α1－α2)＝[0，2，2，2]T
是AX＝b的解．而
    (α1＋α2＋α3)一(2α2＋α3)＝α1一α2＝[一1，0，2，2]T
是AX＝0的解．
    3(2α1一α2)一(2α2＋α3)＝5(α1一α2)＋(α1－α3)＝[一5，7，6，5]T
是AX=0的解．显然[一1，0，2，2]T与[一5，7，6，5]T线性无关(对应分量不成比例)．
    因此，方程组AX＝b的通解为
    [0，2，2，2]T＋k1[一1，0，2，2]T＋k2[一5，7，6，5]T，
其中k1，k2为任意常数．
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考研数学三

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