2. 考研
  3. 求f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2)上的最大值和最小值．

求f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2)上的最大值和最小值．

admin2021-08-02  6
问题 求f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2)上的最大值和最小值．
选项
答案由于函数f(x，y)=x+xy—x2—y2在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值． 首先求f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D内部的极值． 令[*]解得区域D内部唯一的驻点为[*].又 f”xxf”yy一(f”xy)2=3，f”xx＜0， 得f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D内部的极大值[*] 再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值． 这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件． 在x轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，λ)=x+xy一x2一y2+λy， 解方程组[*]得可能的极值点[*]，其函数值为[*] 在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以下面边界的最大值为[*]，最小值为0． 同理可求出： 在上面边界上的最大值为一2，最小值为一4； 在左面边界上的最大值为0，最小值为一4； 在右面边界上的最大值为[*]，最小值为一2． 比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy一x2—y2在闭区域D上的最大值为[*]，最小值为—4．
解析
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考研数学二

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