设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22+-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．

admin2013-10-11 88

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=ax₁²+2x₂²+-2x₃²+2bx₁x₃(b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由题设，二次型f相应的矩阵为A=[*] 设A的3个特征值为λ₁，λ₂，λ₃，则由已知条件知λ₁+λ₂+λ₁=1，λ₁λ₂λ₁=-12；利用"矩阵特征值之和：矩阵主对角线元素之和"及"特征值之积=矩阵行列式"两个关系，得 a=1及[*]=2(-2-b²)=-12，可求出b=2，即a=1，b=2． (Ⅱ)由｜A-λE｜=0，即[*]=0，可求出A的特征值为 λ₁=λ₂=2，λ₃=-3．不难求得对应于λ₁=λ₂=2的特征向量为[*] 对应于λ₃=-3的特征向量为ξ₃=[*]，对λ₁，λ₂，λ₃正交规范化，得 [*] 令矩阵P=(ξ₁，ξ₃，ξ₃)=[*] 则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，其中[*] 因此二次型的标准形为2y₁²+2y₂²-3y₃²．

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22+-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．

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