设f(x)在(－∞,+∞)上连续,且是周期为T的周期函数,证明： ∫αα+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx

admin2022-09-05 80

问题设f(x)在(－∞,+∞)上连续,且是周期为T的周期函数,证明：
∫_α^α+Tf(x)dx=∫₀^Tf(x)dx

选项

答案∫_α^α+Tf(x)dx=∫_α⁰f(x)dx+∫₀^Tf(x)dx+∫_T^α+Tf(x)dx=I₁+I₂+I₃ 对积分I₃，作换元x=t+T,则当x=T,α+T时，t依次为0，α，又f(t+T)=f(t)，所以 I₃=∫_T^α+Tf(x)dx=∫₀^αf(t)dt=∫₀^αf(x)dx 而 I₁=∫_α⁰f(x)dx=－∫₀^αf(x)dx 故∫_α^α+Tf(x)dx=－∫₀^αf(x)dx+∫₀^Tf(x)dx+∫₀^αf(x)dx=∫₀^Tf(x)dx

解析

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考研数学三

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