设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有命题 ①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解; ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解; ③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解; ④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解. 其中正确的是 ( )

admin2019-01-06  43

问题 设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有命题
①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解;
②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解;
③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解;
④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解.
其中正确的是 (     )

选项 A、①④
B、①②
C、②③
D、③④

答案B

解析 当Anx=0时,易知An+1x=A(Anx)=0,故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解,也即①正确、③错误.
    当An+1x=0时,假设Anx≠0,则有x,Ax,…,Anx均不为零,可以证明这种情况下x,Ax,…,Anx  是线性无关的.由于x,Ax,…,Anx均为n维向量,而n+1个n维向量都是线性相关的,矛盾,故假设不成立,因此必有Anx=0.可知(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解,故②正确,④错误,故选(B)。
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