2. 考研
  3. 已知抛物线y=px2+qx(其中p＜0，q＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S． (Ⅰ)问p和q何值时，S达到最大值? (Ⅱ)求出此最大值．

已知抛物线y=px2+qx(其中p＜0，q＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S． (Ⅰ)问p和q何值时，S达到最大值? (Ⅱ)求出此最大值．

admin2022-04-10  109
问题 已知抛物线y=px2+qx(其中p＜0，q＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S．
(Ⅰ)问p和q何值时，S达到最大值?
(Ⅱ)求出此最大值．
选项
答案由题设，抛物线与直线的位置关系如图所示． [*] 抛物线Y=pxx+qx与x轴的交点为(0，0)及[*] 面积[*] 又知抛物线与直线相切，因此二者的公共点唯一，从而方程组[*]有唯一解， 可推知px2+(q+1)x-5=0的根的判别式为0， 即△=(q+1)2+20p=0，可解得p=-(1/20)(1+q)2． 由此，[*] 令[*] 当0＜q＜3时，S’(q)＞0；当q＞3时，S2(q)＜0， 所以q=3时，S(g)取极大值，也即最大值，此时，p=-(4/5)，Smax=225/32．
解析
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考研数学三

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