2. 考研
  3. 二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22-4y32，求： (1)常数a，b；(2)正交变换的矩阵Q．

二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22-4y32，求： (1)常数a，b；(2)正交变换的矩阵Q．

admin2019-08-28  57
问题 二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22-4y32，求：
(1)常数a，b；(2)正交变换的矩阵Q．
选项
答案(1)令A=[*]，则f(x1，x2，x3)=XTAX，矩阵A的特征值为λ1=5，λ2=b，λ3=-4， 由 [*] 从而[*]，特征值为λ1=λ2=5，λ3=-4． (2)将λ1=λ2=5代入(λE-A)X=0，即(5E-A)X=0， 由5E-A=[*]得λ1=λ2=5对应的线性无关的特征向量为α1=[*]，α2=[*] 将λ3=-4代入(λE-A)X=0，即(4E+A)X=0， 由4E+A=[*]得λ3=-4对应的线性无关的特征向量为α3=[*] 令β1=α1-[*]，β2=α2-[*]，β3=α3=[*] 单位化得 [*] 所求的正交变换矩阵为 [*]
解析
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考研数学三

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