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二次型f(x1,x2,x3)=x12+ax22+x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22-4y32,求: (1)常数a,b;(2)正交变换的矩阵Q.
二次型f(x1,x2,x3)=x12+ax22+x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22-4y32,求: (1)常数a,b;(2)正交变换的矩阵Q.
admin
2019-08-28
34
问题
二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+ax
2
2
+x
3
2
-4x
1
x
2
-8x
1
x
3
-4x
2
x
3
经过正交变换化为标准形5y
1
2
+6y
2
2
-4y
3
2
,求:
(1)常数a,b;(2)正交变换的矩阵Q.
选项
答案
(1)令A=[*],则f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX,矩阵A的特征值为λ
1
=5,λ
2
=b,λ
3
=-4, 由 [*] 从而[*],特征值为λ
1
=λ
2
=5,λ
3
=-4. (2)将λ
1
=λ
2
=5代入(λE-A)X=0,即(5E-A)X=0, 由5E-A=[*]得λ
1
=λ
2
=5对应的线性无关的特征向量为α
1
=[*],α
2
=[*] 将λ
3
=-4代入(λE-A)X=0,即(4E+A)X=0, 由4E+A=[*]得λ
3
=-4对应的线性无关的特征向量为α
3
=[*] 令β
1
=α
1
-[*],β
2
=α
2
-[*],β
3
=α
3
=[*] 单位化得 [*] 所求的正交变换矩阵为 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XvJ4777K
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考研数学三
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