设有3阶实对称矩阵A满足A3－6A2+11A－6E=0，且|A|=6．写出用正交变换将二次型f=xT(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；

admin2019-12-26 42

问题设有3阶实对称矩阵A满足A³－6A²+11A－6E=0，且|A|=6．
写出用正交变换将二次型f=x^T(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；

选项

答案设λ是A的特征值，x是A的关于λ所对应的特征向量，由A³－6A²+11A－6E=O得(λ³－6λ²+11λ －6)x=0，由于x≠0，所以λ³－6λ²+11λ－6=0，得λ=1，2，3．由于|A|=6，所以λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3为A的三个特征值．由于A+E仍是对称矩阵，其特征值为2，3，4，故存在正交变换x=Py，使 f=x^T(A+E)x=2y₁²+3y₂²+4y₃²．

解析

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考研数学三

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