2. 考研
  3. 设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V(t)=[t2f(t)-f(1)]，试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x=2=2/9的

设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V(t)=[t2f(t)-f(1)]，试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x=2=2/9的

admin2022-07-21  15
问题 设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V(t)=[t2f(t)-f(1)]，试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x=2=2/9的解．
选项
答案由旋转体体积公式及题意，有V(t)=π∫0tf2(t)dt=[*][t2f(t)-f(1)]，即 3∫1tf2(t)dt=t2f(t)-f(1) 两边求导，得3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)． 更换t为x，f(t)为y，得3y2=2xy+x2y’即y’=3(y/x)2-2[*]，这是一个一阶齐次方程．令u=y/x，则y=xu，dy/dx=u+x·[*]． 代入方程得xu’=3u2-3u，分离变量积分得[*]=lnx+lnC1，化简得[*]=Cx3，亦[*]-1=Cx2y，即y-x=Cx3y． 代入初始条件y｜x=2=2/9，得C=-1．故所求特解为y=[*]
解析
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考研数学一

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