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设L1:x2+y2=1,L2:x2+y2=2,L3:x2+2y2=2,L4:2x2+y2=2为四条逆时针方向的平面曲线,记Ii=dy(i=1,2,3,4),则max{I1,I2,I3,I4}=( )
设L1:x2+y2=1,L2:x2+y2=2,L3:x2+2y2=2,L4:2x2+y2=2为四条逆时针方向的平面曲线,记Ii=dy(i=1,2,3,4),则max{I1,I2,I3,I4}=( )
admin
2018-05-25
55
问题
设L
1
:x
2
+y
2
=1,L
2
:x
2
+y
2
=2,L
3
:x
2
+2y
2
=2,L
4
:2x
2
+y
2
=2为四条逆时针方向的平面曲线,记I
i
=
dy(i=1,2,3,4),则max{I
1
,I
2
,I
3
,I
4
}=( )
选项
A、I
1
。
B、I
2
。
C、I
3
。
D、I
4
。
答案
D
解析
由于L
i
所围区域封闭,故运用格林公式。曲线L
i
所围成的区域记为D
i
(i=1,2,3,4),由格林公式得
由L
1
:x
2
+y
2
=1,L
2
:x
2
+y
2
=2,L
3
:
y
2
=1可知D
1
,D
2
为圆域,D
3
,D
4
为椭圆域,而被积函数f(x,y)=1一(x
2
+
y
2
)为连续函数,在D
4
上f(x,y)≥0,但不恒等于0,而在D
4
之外,f(x,y)≤0但不恒等于0。
因为D
4
D
1
,故I
4
>I
1
。D
4
和D
1
的公共部分是D
4
,D
1
的剩余部分f(x,y)≤0,但不恒等于0。因此I
4
>I
2
。
D
4
和D
3
的公共部分是相交的区域,D
4
的剩余部分f(x,y)≥0但不恒等于0,而D
3
的剩余部分1一(x
2
+
y
2
)≤0,但是不恒等于0,所以I
4
>I
3
。
因此最大值为I
4
,所以选D。
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考研数学一
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