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(2002年试题。八)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y){x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy.(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什
(2002年试题。八)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y){x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy.(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什
admin
2019-05-16
21
问题
(2002年试题。八)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y){x
2
+y
2
一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x
2
一y
2
+xy.(1)设M(x
0
,y
0
)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x
0
,y
0
),试写出g(x
0
,y
0
)的表达式;(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D的边界线x
2
+y
2
一xy=75上找出使(1)中的g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
选项
答案
(1)由题设,结合方向导数取最大值的方向是梯度方向这一性质,[*]则[*]因此h(x,y)沿方向(y
0
—2x
0
)i+(x
0
一2y
0
)j方向导数为最大值,且此最大值为[*](2)令f(x,y)=g
2
(x,y)=(y一2x)
2
+(x一2y)
2
,由题意只需求f(x,y)在约束条件φ(x,y)=75一x
2
一y
2
+xy=0下的条件最大值点,由拉格朗日乘数法,记F(x,y,λ)=f(x,y)+Aλφ(x,y)=(y一2x)
2
+(x一2y)
2
+λ(75一x
2
一y
2
+xy)则由[*]可解得λ=2或x+y=0.当λ=2时,可解出可能条件极值点为[*]当x+y=0时,可解出可能条件极值点为(5,一5),(一5,5).由于[*],而f(x,y)|
(5,-5)
=f(x,y)|
(-5,5)
=450所以点(5,一5)和点(一5,5)可作为攀登的起点.
解析
许多求极值和最值的问题中,需根据实际问题首先建立目标函数或约束条件,然后再求极,最值.本题中因|gradh|为方向导数的最大值,故而将代为求|gradh|在条件x
2
+y
2
一xy=75F的条件极值,用拉格朗日乘数法求该条件极值.
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考研数学一
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