已知二次型xTAx＝x12－5x22＋x32＋2ax1x2＋2x1x3＋2bx2x3的秩为2，(2，1，2)T是A的特征向量，则经正交变换后二次型的标准形是__________．

admin2020-06-05 9

问题已知二次型x^TAx＝x₁²－5x₂²＋x₃²＋2ax₁x₂＋2x₁x₃＋2bx₂x₃的秩为2，(2，1，2)^T是A的特征向量，则经正交变换后二次型的标准形是__________．

选项

答案3y₁²－6y₃²

解析设(2，1，2)T是二次型矩阵A的属于特征值λ₁的特征向量，则

解之得a＝b＝2，λ₁＝3．
又因为R(A)＝2，所以｜A｜＝0，进而λ₂＝0是矩阵A的一个特征值．再由特征值与矩阵迹的关系得1＋(﹣5)＋1＝3＋0＋λ₃，即λ₃＝﹣6也是矩阵A的特征值．因此，二次型x^TAx在正交变换下的标准形为3y₁²－6y₃²．

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考研数学一

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