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已知二次型xTAx=x12-5x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩为2,(2,1,2)T是A的特征向量,则经正交变换后二次型的标准形是__________.
已知二次型xTAx=x12-5x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩为2,(2,1,2)T是A的特征向量,则经正交变换后二次型的标准形是__________.
admin
2020-06-05
6
问题
已知二次型x
T
Ax=x
1
2
-5x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2x
1
x
3
+2bx
2
x
3
的秩为2,(2,1,2)
T
是A的特征向量,则经正交变换后二次型的标准形是__________.
选项
答案
3y
1
2
-6y
3
2
解析
设(2,1,2)T是二次型矩阵A的属于特征值λ
1
的特征向量,则
解之得a=b=2,λ
1
=3.
又因为R(A)=2,所以|A|=0,进而λ
2
=0是矩阵A的一个特征值.再由特征值与矩阵迹的关系得1+(﹣5)+1=3+0+λ
3
,即λ
3
=﹣6也是矩阵A的特征值.因此,二次型x
T
Ax在正交变换下的标准形为3y
1
2
-6y
3
2
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cfv4777K
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考研数学一
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