(2008年试题，一)设则在实数域上与A合同的矩阵为( )

admin2013-12-18 57

问题 (2008年试题，一)设

则在实数域上与A合同的矩阵为( )

选项 A、

B、

C、

D、

答案B

解析因为[*]，则矩阵A的特征值为一1和3．同理，计算四个选项的特征值发现，D选项矩阵的特征值和矩阵A的特征值一致，即它们有相同的秩和正惯性指数，且它们都是对称矩阵，所以它们合同．故应选D．则A=C+3E，由｜λE一C｜=0得C的特征值为λ₁=一3，λ₂=λ₃=0，则A的特征值为0，3，3．矩阵B的特征值为1，1，0，显然A与B不相似．矩阵A与矩阵B的正、负惯性系数均为2，0，即A与B合同．故应选B．
[评注]相似矩阵具有如下性质若A—B，则①｜λE—A｜=｜λE一B｜，即矩阵A，B具有相同的特征值；②[*]即矩阵A，B具有相同的迹；③r(A)=r(B)，即矩阵A，B具有相同的秩；④｜A｜=｜B｜．两矩阵合同的充分必要条件：实对称矩阵[*]二次型．X^TAx与X^TBX有相同的正负惯性指数．

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