[2004年] 设n阶矩阵A与B等价，则必有( )．

admin2021-01-25 54

问题 [2004年] 设n阶矩阵A与B等价，则必有( )．

选项 A、当|A|=a(a≠0)时，|B|=a
B、当|A|=a(a≠0)时，|B|=－a
C、当|A|≠0时，|B|=0
D、当|A|=0时，|B|=0

答案D

解析解一  因A与B等价，由命题2．2．5．4(1)知，仅(D)入选．（注：命题2．2．5．4  (1)矩阵等价的必要条件是矩阵的行列式同时为零或同时不为零．）
解二  因A与B等价，其秩必相等．当|A|=0时，秩(A)秩(B)，故(C)不成立．仅(D)入选．
解三  因A与B等价，由矩阵等价的必要条件知，存在可逆矩阵P与Q，使得A=PBQ．两边取行列式得|A|=|P||B||Q|，而|P|≠0，|Q|≠0，因而|A|与|B|同时为零或同时不为零．故当|A|=0时，必有|B|=0．仅(D)入选．

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考研数学三

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