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  3. 已知4维向量α1，α2，α3，α4线性相关，而α2，α3，α4，α5线性无关． (Ⅰ)证明α1可由α2，α3，α4线性表出； (Ⅱ)证明α5不能由α1，α2，α3，α4线性表出； (Ⅲ)举例说明α2能否由α1，α3，α4，α5线性表

已知4维向量α1，α2，α3，α4线性相关，而α2，α3，α4，α5线性无关． (Ⅰ)证明α1可由α2，α3，α4线性表出； (Ⅱ)证明α5不能由α1，α2，α3，α4线性表出； (Ⅲ)举例说明α2能否由α1，α3，α4，α5线性表

admin2018-06-12  65
问题 已知4维向量α1，α2，α3，α4线性相关，而α2，α3，α4，α5线性无关．
    (Ⅰ)证明α1可由α2，α3，α4线性表出；
    (Ⅱ)证明α5不能由α1，α2，α3，α4线性表出；
    (Ⅲ)举例说明α2能否由α1，α3，α4，α5线性表出是不确定的．
选项
答案(Ⅰ)由α2，α3，α4，α5线性无关，可知α2，α3，α4线性无关，又因α1，α2，α3，α4线性相关，所以α1可由α2，α3，α4线性表出． 或者，由α1，α2，α3，α4线性相关知有不全为0的k1，k2，k3，k4，使 k1α1＋k2α2＋k3α3＋k4α4＝0， 那么必有k≠0(否则有k2，k3，k4不全为0而k2α2＋k3α3＋k4α4＝0，于是α2，α3，α4线性相关，这与α2，α3，α4，α5线性无关相矛盾)．从而 α1＝[*]， 即α1可由α2，α3，α4线性表出． (Ⅱ)如果α5＝k1α1＋k2α2＋k3α3＋k4α4，由(Ⅰ)可设α1＝l2α2＋l3α3＋l4α4，那么 α2＝(k1l2＋k2)α2＋(k1l3＋k3)α3＋(k1l4＋k4)α4， 这与α2，α3，α4，α5线性无关相矛盾，从而α5不能由α1，α2，α3，α4线性表出． (Ⅲ)设α2＝(1，0，0，0)T，α3＝(0，1，0，0)T，α4＝(0，0，1，0)T，α5＝(0，0，0，1)T，那么 当α1＝(1，1，1，0)T时，α2＝可由α1，α3，α4，α5线性表出； 而当α1＝α3时，α2不能由α1，α3，α4，α5线性表出．
解析
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考研数学一

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