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设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Ax =β的通解为(1.2,2,1)T+c(1,—2,4,0)T,c任意.记B=(α3,α2,α1,β—α4).求方程组Bx=α1—α2的通解.
设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Ax =β的通解为(1.2,2,1)T+c(1,—2,4,0)T,c任意.记B=(α3,α2,α1,β—α4).求方程组Bx=α1—α2的通解.
admin
2017-11-22
89
问题
设4阶矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),方程组Ax =β的通解为(1.2,2,1)
T
+c(1,—2,4,0)
T
,c任意.记B=(α
3
,α
2
,α
1
,β—α
4
).求方程组Bx=α
1
—α
2
的通解.
选项
答案
首先从AX =β的通解为(1,2,2,1)
T
+c(1,—2,4,0)
T
可得到下列讯息: ①Ax =0的基础解系包含1个解,即4— r(A)=1,得r(A)=3.即r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3. ②(1,2,2,1)
T
是Ax =β解,即α
1
+2α
2
+2α
3
+α
4
=β. ③(1,—2,4,0)
T
是Ax=0解,即α
1
— 2α
2
+4α
3
=0.α
1
,α
2
,α
3
线性相关,r(α
1
,α
2
,α
3
)=2. 显然B(0,—1,1,0)
T
=α
1
—α
2
,即(0,—1,1,0)
T
是Bx=α
1
—α
2
的一个解. 由②,B=(α
3
,α
2
,α
1
,β— α
4
)=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
),于是 r(B)= r(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=2. 则Bx =0的基础解系包含解的个数为4— r(B)=2个,α
1
— 2α
2
+4α
3
=0说明(4,—2,1,0)
T
是Bx =0的解;又从B=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
)容易得到B(—2,—2,—1,1)
T
=0,说明(—2,—2,—1,1)
T
也是Bx =0的解,于是(4,—2,1,0)
T
和(—2,—2,—1,1)
T
构成Bx=0的基础解系. Bx=α
1
—α
2
的通解为: (0,— 1,1,0)
T
+c
1
(4,—2,1,0)
T
+c
2
(— 2, — 2, — 1,1)
T
, c
1
,c
2
任意.
解析
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考研数学三
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