确定常数a和b，使得函数f(x)=，处处可导．

admin2018-11-21 68

问题确定常数a和b，使得函数f(x)=

，处处可导．

选项

答案由f(x)在x=0处可导，得f(x)在x=0处连续．由表达式知，f(x)在x=0右连续．于是，f(x)在x=0连续[*](sinx+2ae^x)=2a=f(0)→2a=一2b，即a+b=0．又f(x)在x=0可导←→f’₊(0)=f’_—(0)．在a+b=0条件下，f(x)可改写成 [*] 于是 f’₊(0)=[9arctanx+2b(x—1)³]’｜_x=0=[[*]+6b(x—1)²]｜_x=0=9+6b， f’_—(0)=(sinx+2ae^x)’｜_x=0=1+2a．因此f(x)在x=0可导[*] 故仅当a=1，b=一1时f(x)处处可导．

解析这是分段函数，当x＞0与x＜0时分别与某初等函数相同，是可导的，关键是确定a和b，使得f(x)在x=0处可导．对这类问题是根据：①函数在某点可导则在该点连续；②函数在某些点处可导，则在该点处左、右导数相等这两个性质，建立两个待定常数间的两个关系式，然后解出来．

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考研数学一

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