(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数。 (I)证明对任意实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。

admin2018-04-17 75

问题 (2008年)设f(x)是周期为2的连续函数。
(I)证明对任意实数t，有∫_t^t+2f(x)dx=∫₀²f(x)dx；
(Ⅱ)证明G(x)=∫₀^x[2f(t)一∫_t^t+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。

选项

答案(I)由积分的性质知，对任意的实数t， ∫_t^t+2f(x)dx=∫_t⁰f(x)dx+∫₀²f(x)dx+∫₂^t+2f(x)dx。令x=2+u，则∫₂^t+2f(x)dx=∫₀^tf(2+u)du=∫₀^tf(u)du=一∫_t⁰f(x)dx。所以∫_t^t+2f(x)dx=∫_t⁰f(x)dx+∫₀²f(x)dx—∫_t⁰f(x)dx=∫₀²f(x)dx (Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的t有∫_t^t+2f(x)dx=∫₀²f(x)dx，记a=∫₀²f(x)dx，则G(x)=2∫₀^xf(t)dt一ax。所以，对任意的x， G(x+2)一G(x)=2∫₀^x+2f(t)dt—a(x+2)一2∫₀^xf(t)dt+ax =2∫_x^x+2f(t)dt一2a=2∫₀²f(t)dt一2a=0。所以G(x)是周期为2的周期函数。 (Ⅱ)由(I)知，对任意的t有∫_t^t+2f(x)dx=∫₀²f(x)dx，记a=∫₀²f(x)dx，则 G(x)=2∫₀^xf(t)dt一ax，G(x+2)=2∫₀^x+2f(t)dt—a(x+2)。由于对任意x，[G(x+2)]’=2f(x+2)一a=2f(x)一a，[G(x)]’=2f(x)一a，所以[G(x+2)一G(x)]’=0，从而G(x+2)一G(x)是常数，即G(x+2)一G(x)=G(2)一G(0)=0。故G(x)是周期为2的周期函数。

解析

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考研数学三

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(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数。 (I)证明对任意实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。

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