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(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数。 (I)证明对任意实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。
(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数。 (I)证明对任意实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。
admin
2018-04-17
119
问题
(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数。
(I)证明对任意实数t，有∫
t
t+2
f(x)dx=∫
0
2
f(x)dx；
(Ⅱ)证明G(x)=∫
0
x
[2f(t)一∫
t
t+2
f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。
选项
答案
(I)由积分的性质知，对任意的实数t， ∫
t
t+2
f(x)dx=∫
t
0
f(x)dx+∫
0
2
f(x)dx+∫
2
t+2
f(x)dx。 令x=2+u，则∫
2
t+2
f(x)dx=∫
0
t
f(2+u)du=∫
0
t
f(u)du=一∫
t
0
f(x)dx。 所以∫
t
t+2
f(x)dx=∫
t
0
f(x)dx+∫
0
2
f(x)dx—∫
t
0
f(x)dx=∫
0
2
f(x)dx (Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的t有∫
t
t+2
f(x)dx=∫
0
2
f(x)dx，记a=∫
0
2
f(x)dx，则G(x)=2∫
0
x
f(t)dt一ax。所以，对任意的x， G(x+2)一G(x)=2∫
0
x+2
f(t)dt—a(x+2)一2∫
0
x
f(t)dt+ax =2∫
x
x+2
f(t)dt一2a=2∫
0
2
f(t)dt一2a=0。 所以G(x)是周期为2的周期函数。 (Ⅱ)由(I)知，对任意的t有∫
t
t+2
f(x)dx=∫
0
2
f(x)dx，记a=∫
0
2
f(x)dx，则 G(x)=2∫
0
x
f(t)dt一ax，G(x+2)=2∫
0
x+2
f(t)dt—a(x+2)。 由于对任意x，[G(x+2)]’=2f(x+2)一a=2f(x)一a，[G(x)]’=2f(x)一a，所以[G(x+2)一G(x)]’=0，从而G(x+2)一G(x)是常数，即G(x+2)一G(x)=G(2)一G(0)=0。故G(x)是周期为2的周期函数。
解析
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0
考研数学三
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