2. 考研
  3. (2008年)设f(x)是周期为2的连续函数。 (I)证明对任意实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。

(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数。 (I)证明对任意实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。

admin2018-04-17  51
问题 (2008年)设f(x)是周期为2的连续函数。
(I)证明对任意实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx；
(Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。
选项
答案(I)由积分的性质知，对任意的实数t， ∫tt+2f(x)dx=∫t0f(x)dx+∫02f(x)dx+∫2t+2f(x)dx。 令x=2+u，则∫2t+2f(x)dx=∫0tf(2+u)du=∫0tf(u)du=一∫t0f(x)dx。 所以∫tt+2f(x)dx=∫t0f(x)dx+∫02f(x)dx—∫t0f(x)dx=∫02f(x)dx (Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的t有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx，记a=∫02f(x)dx，则G(x)=2∫0xf(t)dt一ax。所以，对任意的x， G(x+2)一G(x)=2∫0x+2f(t)dt—a(x+2)一2∫0xf(t)dt+ax =2∫xx+2f(t)dt一2a=2∫02f(t)dt一2a=0。 所以G(x)是周期为2的周期函数。 (Ⅱ)由(I)知，对任意的t有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx，记a=∫02f(x)dx，则 G(x)=2∫0xf(t)dt一ax，G(x+2)=2∫0x+2f(t)dt—a(x+2)。 由于对任意x，[G(x+2)]’=2f(x+2)一a=2f(x)一a，[G(x)]’=2f(x)一a，所以[G(x+2)一G(x)]’=0，从而G(x+2)一G(x)是常数，即G(x+2)一G(x)=G(2)一G(0)=0。故G(x)是周期为2的周期函数。
解析
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考研数学三

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