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  3. [2000年] 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0必有( )．

[2000年] 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0必有( )．

admin2019-05-10  47
问题 [2000年]  设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0必有(    )．
选项 A、(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
答案A
解析 本题的难点是在由ATAX=0得到A．这只有将ATAX=0化成只含AX的式子才好研究，为此在ATAX=0两边同时左乘XT．
    解一  由命题2．4．7．3(1)知，仅(A)入选．
    解二  设a为组(Ⅰ)的任一解，则Aα=0，于是有
    ATAα=AT(Aα)=AT0=0,
即α也是组(Ⅱ)的解．于是得到组(Ⅰ)的解必为组(Ⅱ)的解．
    反之，设β为组(Ⅱ)的任一解．下面证明它也是组(Ⅰ)的解．由ATAβ=0得到
βT(ATAβ)=0，即
    (Aβ)T(Aβ)=(βTAT)(Aβ)=βT(ATAβ)=0．
  设Aβ=[b1，b2，…，bn]T，则
    (Aβ)T(Aβ)=b12+b22+…+bn2=0bi=0  (i=1，2，…，n)，
即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．
    或用反证法证之．若Aβ=[b1，b2，…，bn]T≠0，不妨设b1≠0，则
(Aβ)T(Aβ)一[b1，b2，…，bn][b1，b2，…，bn]T=b12+bi2＞0．
这与(Aβ)T(Aβ)=0矛盾．因而Aβ=0，于是组(Ⅱ)的解也必为组(I)的解．因而组(I)与组(II)同解．仅(A)入选．
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考研数学二

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