设矩阵A=(aij)n×n的秩为n,aij的代数余子式为Aij(i,j=1.2,…,n).记A的前r行组成的r×n矩阵为B,证明:向量组 α1=(Ar+1,1,…,Ar+1,n)T α2=(Ar+2,1,…,Ar+2,n)T αn-r=(An1,…,Ann

admin2018-07-27  38

问题 设矩阵A=(aij)n×n的秩为n,aij的代数余子式为Aij(i,j=1.2,…,n).记A的前r行组成的r×n矩阵为B,证明:向量组
α1=(Ar+1,1,…,Ar+1,n)T
α2=(Ar+2,1,…,Ar+2,n)T
αn-r=(An1,…,Ann)T

是齐次线性方程组Bx=0的基础解系.

选项

答案r(B)=r,[*]方程组Bx=0的基础解系含n-r个向量,故只要证明α1,α2,…,αn-r是方程组Bx=0的线性无关解向量即可.首先,由行列式的性质,有[*]aijAkj=0(i=1,2,…,r;k=r+1,r+2,…,n).故α1,α2,…,αn-r都是Bx=0的解向量;其次,由于|A*|=|A|n-1≠0.知A*的列向量组线性无关,而α1,α2,…,αn-r正好是A*的后n-r列,故α1,α2,…,αn-r线性无关,因此α1,α2,…,αn-r是Bx=0的n-r个线性无关解向量,从而可作为Bx=0的基础解系.

解析
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