设f(x)在(一∞，a)内可导，=α＞0，求证：f(x)在(一∞，a)内至少有一个零点．

admin2018-11-21 38

问题设f(x)在(一∞，a)内可导，

=α＞0，求证：f(x)在(一∞，a)内至少有一个零点．

选项

答案由极限的不等式性质，[*]δ＞0，当x∈[a一δ，a)时[*]＞0，即f(x)＜0，也就有f(a一δ)＜0．[*]x₀＜a一δ，当x≤x₀时f’(x)≤[*]＜0．于是由微分中值定理知，当x＜x₀，[*]ξ∈(x，x₀) 使得 f(x)=f(x₀)+f’(ξ)(x一x₀)≥f(x₀)+[*](x一x₀)，由此可得[*]x₁＜a一δ使得f(x₁)＞0．在[x₁，a一δ]上应用连续函数零点存在性定理，f(x)在(x₁，a一δ)上至少存在一个零点．

解析只需由所给条件证明：

x₁与x₂，使得f(x₁)＞0，f(x₂)＜0即可．
由极限的不等式性质及

＞0确定x＜a，x靠近a时f(x)的符号，由微分中值定理(联系函数和它的导数)及

f’(x)=β＜0确定x＜0，｜x｜充分大时f(x)的符号．

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考研数学一

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