2. 考研
  3. 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f(1／2)＝1，试证： (1)存在η∈(1／2，1)，使f(η)＝η； (2)对任意实数λ，必存在ε∈(0，η)，使得fˊ(ε)－λ[f(ε)－ε]＝1

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f(1／2)＝1，试证： (1)存在η∈(1／2，1)，使f(η)＝η； (2)对任意实数λ，必存在ε∈(0，η)，使得fˊ(ε)－λ[f(ε)－ε]＝1

admin2012-01-29  111
问题 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f(1／2)＝1，试证：
(1)存在η∈(1／2，1)，使f(η)＝η；
(2)对任意实数λ，必存在ε∈(0，η)，使得fˊ(ε)－λ[f(ε)－ε]＝1
选项
答案证：(1)令φ(x)＝f(x)－x，则φ(x)在[0，1]上连续，又φ(1)＝－1＜0，φ(1／2)＝1／2＞0，故由闭区间上连续函数的介值定理知，存在η∈(1／2，1)，使得φ(η)＝f(η)－η＝0，即f(η)＝η． (2)设F(x)＝e－λφ(x)＝e－λx[f(x)－x]，则F(x)在[0，η]上连续，在(x，η)内可导，且 F(0)＝0，F(η)＝e－ληφ(η)＝0 即F(x)在[x，η]上满足罗尔定理的条件，故存在ε∈(x，η)，使得 Fˊ(ε)＝0，即e－λε｛fˊ(ε)－λ[f(ε)－ε]－1｝＝0 从而fˊ(ε)－λ[fˊ(ε)－ε]＝1
解析
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考研数学二

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