设向量组α1，α2，…，αm线性相关，且α1≠0，证明存在某个向量αk（2≤k≤m），使αk能由α1，α2，…，αk—1线性表示。

admin2017-12-29 84

问题设向量组α₁，α₂，…，α_m线性相关，且α₁≠0，证明存在某个向量α_k（2≤k≤m），使α_k能由α₁，α₂，…，α_k—1线性表示。

选项

答案因为向量组α₁，α₂，…，α_m线性相关，由定义知，存在不全为零的数λ₁，λ₂，…，λ_m，使 λ₁α₁+λ₂α₂+…+λ_mα_m=0。因λ₁，λ₂，…，λ_m不全为零，所以必存在k，使得λ_k≠0，且λ_k+1=…=λ_m=0。当k=1时，代入上式有λ₁α₁=0。又因为α₁≠0，所以λ₁=0，与假设矛盾，故k≠1。当λ_k≠0且k≥2时，有α_k=[*]α_k—1，k≠1，因此向量α_k能由α₁，α₂，…，α_k—1线性表示。

解析

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考研数学三

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