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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0,f(b)=0,f’+(a)f’-(b)>0,证明:存在—点ξ∈(a,b),使f(ξ)=0.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0,f(b)=0,f’+(a)f’-(b)>0,证明:存在—点ξ∈(a,b),使f(ξ)=0.
admin
2022-06-04
57
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0,f(b)=0,f’
+
(a)f’
-
(b)>0,证明:存在—点ξ∈(a,b),使f(ξ)=0.
选项
答案
不妨设f’
+
(A)>0,f’
-
(B)>0,则 f’
+
(A)=[*]>0. 由极限存在的局部保号性得,存在ξ
1
∈(a,b)使f(ξ
1
)-f(A)>0. 又f’
-
(B)=[*]>0,则存在ξ
2
∈(a,b)使f(ξ
2
)-f(B)<0.因为f(x)在[a,b]上连续,则由零点定理知,必存在一点ξ∈(a,b),使f(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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