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根据下列条件,进行回答。 当x>0时,证明方程2ln(1+x)=x有唯一实根ξ。
根据下列条件,进行回答。 当x>0时,证明方程2ln(1+x)=x有唯一实根ξ。
admin
2022-03-23
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问题
根据下列条件,进行回答。
当x>0时,证明方程2ln(1+x)=x有唯一实根ξ。
选项
答案
令f(x)=x-2ln(1+x),则f(0)=0,f‘(x)=1-[*] 当0<x<1时,f’(x)<0,f(x)在(0,1)内单调减少,所以存在x
1
(0<x
1
<1),使得f(x
1
)<0,又由于 [*]=+∞,所以存在X>0,当x
2
>X>0时,使得f(x
2
)>0. 由零点定理,有f(ξ)=0且ξ>0. 再证ξ的唯一性。 用反证法:设f(x)在(0,+∞)内存在两个不同零点ξ,η,不妨设ξ<η,则f(0)=f(ξ)=f(η)=0. 由罗尔定理,存在ξ
1
∈(0,ξ),使得f’(ξ
1
)=0,存在ξ
2
∈(ξ,η),使得f’(ξ
2
)=0,故存在τ∈(ξ
1
,ξ
2
),使得f"(τ)=0 但f’’(x)=[*]>0,矛盾,故ξ唯一。
解析
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考研数学三
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