已知A是n阶实对称矩阵，满足A2一3A+2E=O，且B=A2一2A+3E． (Ⅰ)求B-1； (Ⅱ)证明：B正定．

admin2022-04-10 73

问题已知A是n阶实对称矩阵，满足A²一3A+2E=O，且B=A²一2A+3E．
(Ⅰ)求B^-1；
(Ⅱ)证明：B正定．

选项

答案(Ⅰ)由题设A²一3A+2E=O，得 A²=3A一2E．代入B，得 B=A²一2A+3E=3A一2E一2A+3E=A+E．又 A²一3A+2E=(A+E)(A一4E)+6E=O，即 (A+E)[一[*](A一4E)]=E，得B=A+E可逆，且B²=一[*](A一4E)． (Ⅱ)[证] 法一 B^T=(A²一2A+3E)^T=B，B是实对称矩阵． A²一3A+2E=O两边右乘A的特征向量ξ，得(λ²一3λ+2)ξ=0，又ξ≠0，则λ=1或2．故A的特征值只能取值为1或2．B=A+E的特征值只能取值为2或3，均大于零，故B正定．法二 B=A²一2A+3E=(A—E)²+2E，由正定矩阵的定义即得B正定．

解析

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考研数学三

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