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  3. 设某网络服务器首次失效时间服从E(λ)，现随机购得4台，求下列事件的概率： (Ⅰ)事件A：至少有一台的寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命； (Ⅱ)事件B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命．

设某网络服务器首次失效时间服从E(λ)，现随机购得4台，求下列事件的概率： (Ⅰ)事件A：至少有一台的寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命； (Ⅱ)事件B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命．

admin2021-11-15  20
问题 设某网络服务器首次失效时间服从E(λ)，现随机购得4台，求下列事件的概率：
(Ⅰ)事件A：至少有一台的寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命；
(Ⅱ)事件B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命．
选项
答案设服务器首次失效时间为X，则X～E(λ)． (Ⅰ)由题设X～E(λ)可知，X为连续型随机变量．由于连续型随机变量取任何固定值的概率是0， 因此P(A)=0(详细写作：因p=P{X=E(X)}=0，故P(A)=[*]C4kpkqn－k=0)． (Ⅱ)由于X～E(λ)则E(X)=1／λ，即服务器的期望寿命为1／λ．从而一台服务器的寿命小于此类服务器期望寿命E(X)的概率为 p0=∫01／λλe－λxdx=1－e－1． 而每台服务器的寿命可能小于E(x)，也可能超过E(X)，从而4台服务器中寿命小于E(X)的台数应该服从二项分布，故所求概率为 P(B)=C41p0(1－p0)3=4e－3(1－e－1)．
解析
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考研数学一

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