设函数f(x)在区间[0,4]上连续,且=0,求证:存在ξε(0,4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。

admin2022-04-10  48

问题 设函数f(x)在区间[0,4]上连续,且=0,求证:存在ξε(0,4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。

选项

答案方法一:用反证法证明本题,由题设f(x)在[0,4]上连续即知f(4-x)在[0,4]上连续,从而其和f(x)+f(4-x)也在[0,4]上连续,若不存在ξε(0,4)使f(ξ)+f(4-ξ)=0,则f(x)+f(4-x)或在(0,4)内恒正,或在(0,4)内恒负,于是必有[*]。 但是[*]=0用换元x=4-t可得[*],于是[*],由此可得出的矛盾表明必存在ξε(0,4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。 方法二:作换元t=4-x,则x:0→4对应t:4→0,且dx=-dt,从而[*],由此即得[*],于是[*]。利用f(x)+f(4-x)在[0,4]连续,由连续函数的积分中值定理即知存在ξε(0,4)使得[*]。

解析
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