设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值,证明: (1)AB=BA: (2)存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵.

admin2022-04-07  73

问题 设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值,证明:
(1)AB=BA:
(2)存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵.

选项

答案(1)由AB=A-B得A-B-AB+E=E,(E+A)(E-B)=E, 即E-B与E+A互为逆矩阵,于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B), 故AB=BA. (2)因为A有三个不同的特征值λ1,λ2,λ3,所以A可以对角化,设A的三个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,ξ3,则有A(ξ1,ξ2,ξ3)=(ξ1,ξ2,ξ3)diag(λ1,λ2,λ3), BA(ξ1,ξ2,ξ3)=B(ξ1,ξ2,ξ3)diag(λ1,λ2,λ3), AB(ξ1,ξ2,ξ3)=B(ξ1,ξ2,ξ3)diag(λ1,λ2,λ3), 于是有ABξiii,i=1,2,3. 若Bξi≠0,则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量,又λi为单根,所以有Bξiiξi; 若Bξi=0,则ξi是B的属于特征值0的特征向量.无论哪种情况,B都可以对角化,而且 ξi是B的特征向量,因此,令P=(ξ1,ξ2,ξ3),则P-1AP,P-1BP同为对角阵.

解析
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