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设数列{an}=0满足条件: a0=3,a1=1,an—2一n(n一1)an=0(n≥2),S(x)是幂级数anxn的和函数. (1)证明S"(x)一S(x)=0; (2)求S(x)的表达式.
设数列{an}=0满足条件: a0=3,a1=1,an—2一n(n一1)an=0(n≥2),S(x)是幂级数anxn的和函数. (1)证明S"(x)一S(x)=0; (2)求S(x)的表达式.
admin
2017-07-26
58
问题
设数列{a
n
}=0满足条件:
a
0
=3,a
1
=1,a
n—2
一n(n一1)a
n
=0(n≥2),S(x)是幂级数
a
n
x
n
的和函数.
(1)证明S"(x)一S(x)=0;
(2)求S(x)的表达式.
选项
答案
[*] 故 S"(x)一S(x)=0. (2)由(1)得关于S(x)的微分方程S"(z)一S(x)=0,对应的特征方程为λ
2
一1=0 解得特征根为λ
1
=一1,λ
2
=1,所以方程通解为S(x)=C
1
e
—x
+C
2
e
x
. 由 S(0)=a
0
=3, 有 C
1
+C
2
=3, S’(0)=a
1
=1, 有 一C
1
+C
2
=1, 易知 C
1
=1,C
2
=2.所以S(x)的表达式为S(x)=e
—x
+2e
x
.
解析
利用幂级数在收敛区间内的逐项求导性质求解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tfH4777K
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考研数学三
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