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(2006年试题,19)设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数,(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t-2f(x,y).证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
(2006年试题,19)设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数,(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t-2f(x,y).证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
admin
2019-07-23
84
问题
(2006年试题,19)设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数,(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t
-2
f(x,y).证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
选项
答案
根据题意,不妨设L取正向,D内任意分段光滑有向简单闭曲线L所围区域记为D
0
,D
0
cD,由格林公式有[*]将方程f(tx,ty)=t
2
一f(x,y)两边对t求导,由复合函数求导法得xf
1
’
(tx,ty)+yf
2
’
(tx,ty)=一2t
-3
f(x,y)xf
x
’
(x,y)+f
y
’
(x,y)+2厂(x,y)=0((x,y)∈D)代入(1)式即得[*]由此得所要结论.
解析
本题的求证关键在于如何由已知条件f(tx,ty)=t
-2
(x,y),得到一f(x,y)一xf
x
’
(x,y)=f(x,y)+yf
y
’
(z,y).不难看出,等式中不包含t,故而知对t求导且令t=1.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/v5c4777K
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考研数学一
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