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  3. 设α1，α2，…，αs是n维向量，则下列命题中正确的是

设α1，α2，…，αs是n维向量，则下列命题中正确的是

admin2018-11-22  46
问题 设α1，α2，…，αs是n维向量，则下列命题中正确的是
选项 A、如αs不能用α1，α2，…，αs－1线性表出，则α1，α2，…，αs线性无关．
B、如α1，α2，…，αs线性相关，αs不能由α1，α2，…，αs－1线性表出，则α1，α2，…，αs－1线性相关．
C、如α1，α2，…，αs中，任意s一1个向量都线性无关，则α1，α2，…，αs线性无关．
D、零向量0不能用α1，α2，…，αs线性表出．
答案B
解析 (A)，(C)，(D)均错，仅(B)正确．
(A)中当αs不能用α1，α2，…，αs－1线性表出时，并不保证每一个向量αi(i=1，2，…，s－1)都不能用其余的向量线性表出．例如，α1=(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，3)，虽α3不能用α1，α2线性表出，但
2α1一α2+0α3=0，α1，α2，α3是线性相关的．
(C)如α1，α2，…，αs线性无关，可知它的任何一个部分组均线性无关．但任一部分组线性无关并不能保证该向量组线性无关．例如
e1=(1，0，0，…，0)，e2=(0，1，0，…，0)，…，en=(0，0，0，…，1)，α=(1，1，1，…，1)，
其中任意n个都是线性无关的，但这n+1个向量是线性相关的．
(D)在线性表出的定义中，对组合系数没有任何约束条件，因此，零向量可以用任何向量组线性表出，最多组合系数全取为0，即0=0α1+0α2+…+0αs．
其实，零向量0用α1，α2，…，αs表示时，如果组合系数可以不全为0，则表明α1，α2，…，αs是线性相关的，否则线性无关．
关于(B)，由于α1，α2，…，αs线性相关，故存在不全为0的ki(i=1，2，…，s)，使
k1α1+k2α2+…+ksαs=0．
显然，ks=0(否则αs可由α1，…，αs－1线性表出)，因此α1，α2，…，αs－1线性相关．
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