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在xOy坐标平面上求一条曲线,使得过每一点的切线同该点的向径及Oy坐标轴一起构成一个等腰三角形.
在xOy坐标平面上求一条曲线,使得过每一点的切线同该点的向径及Oy坐标轴一起构成一个等腰三角形.
admin
2017-07-26
31
问题
在xOy坐标平面上求一条曲线,使得过每一点的切线同该点的向径及Oy坐标轴一起构成一个等腰三角形.
选项
答案
如图1—9—1,设此曲线方程为y=y(x),过此曲线上任意一点P(x,y)的切线为 Y—y=y’(x)(X—x). [*] 根据题意,它与Oy坐标轴的交点为A(0,y—xy’),使得△AOP为等腰三角形. 若|OP|=|AP|,此时有[*],这不仅可作为分离变量的微分方程,也可作为齐次微分方程.通解为xy=c,其中c为任意常数.(注意:[*]的解并不符合题意.) 若|OA|=|OP|,此时有|y—xy’|=[*]=cx
2
,其中c为任意常数. 若|OA|=|AP|,此时有|y—xy’|=[*],这是齐次微分方程.通解为x
2
+y
2
=cx,其中c为任意常数.
解析
本题主要考查如何根据实际问题建立相应的微分方程,并求其通解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vfH4777K
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考研数学三
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