假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=，P{Y=1}=。求： Z=XY的概率密度fZ(z)；

admin2019-01-19 70

问题假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=

，P{Y=1}=

。求：
Z=XY的概率密度f_Z(z)；

选项

答案根据题意P{Y=一1}=[*]，P{Y=1}=[*]，X～N(0，1)且X与Y相互独立，所以 Z=XY的分布函数为 F_Z(z)=P{XY≤z}=P{Y=一1}P{XY≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{XY≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{一X≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z} =[*][1一P{X<一z}]+[*]P{X≤z} =[*][1一Φ(一z)]+[*]Φ(z)=Φ(z)，即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为 f_Z(z)=φ(z)=[*]。

解析

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考研数学三

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